viernes, 30 de mayo de 2008

Alicia en el Jardín de los Infinitos

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Fractales, fractales, fractales... si ponen un poco de atención, oirán esta palabra en sitios muy diversos, de ella hablan matemáticos, lingüistas, músicos, artistas de los más diversos ámbitos... Pero ¿qué es un fractal? esta pregunta se la hicieron hace unos años a Alfredo Palacios y él ideó este cuento, en el que con un estilo totalmente borgiano nos coloca a Alicia en la puerta de un Jardín de los Infinitos. Creo que entre el cuento y la presentación quedará un poco más claro qué es un fractal que, como su propia etimología indica, 'rompe' con todo o, al menos, rompe y fragmenta todo el plano para repetir una y otra vez la misma forma, hasta el Infinito, como si de un hermoso y deslumbrante Jardín se tratara.

Un sorbo de té caliente templó su garganta y con firme voz Alicia Liddell comenzó la lectura del amarillento manuscrito.
“Era una mansa y lenta tarde de verano. Entré a la Biblioteca Nacional; a mano derecha del vestíbulo una escalera curva me invitó a descender, en el sótano estaban los periódicos y los mapas. Aproveché un descuido de los empleados para tomar, de uno de los húmedos anaqueles, un extraño libro. Era un volumen, en octavo, encuadernado en tela. Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay. Lo abrí al azar y entre las páginas 55 y la siguiente enumerada 1073, encontré un curioso mapa que, según referencia expresa, correspondía al Jardín de los Infinitos. Sorprendido traté de analizar la extraña forma registrada por el plano, gastado y de pobre tipografía. Mi atención fue fácil presa de aquel inusual contorno. ¡Era un limes perimetral tan geométricamente bello! Cerré el volumen y busqué mi anotador con intenciones de calcar la forma. Inmediatamente abrí el libro. En vano busqué el mapa del Jardín de los Infinitos. No lo volví a ver.
Absorto en la difusa imagen de su frontera, bajo árboles fatigados, medité en ese mapa perdido; lo imaginé con su armónico borde en la pared secreta de una cabaña montañesa, lo imaginé borrado por tiempos o transitado por teorías, lo imaginé extravagante… Pensé en un laberinto de laberintos, en un sinuoso laberinto creciente. Me sentí por un tiempo indeterminado, preceptor abstracto de una idea…”
Aquí se interrumpe la narración –dijo Alicia y luego de un silencio agregó- siento profundo interés por ese mapa del Jardín de los Infinitos.
- Toma un poco de vino –dijo la Liebre de marzo en tono conciliador.
Alicia miró por toda la mesa, pero no había más que té.
- Yo no veo vino –comentó.
- No lo hay –dijo la Liebre de Marzo.
- Entonces, no es muy cortés de tu parte ofrecérmelo –dijo Alicia con enfado.
- Tampoco lo es por la tuya sentarte y proponernos mirar un bello mapa ¡sin tener el mapa!
- Yo sé quienes son los que pueden mostrarnos ese mapa –dijo el Sombrerero, que miraba a Alicia con mucha curiosidad.
- ¿Quieres decir que piensas que conoces a quienes nos pueden mostrar el mapa? –dijo la Liebre de Marzo.
- Exactamente –dijo el Sombrerero.
- Entonces debes decir lo que piensas –prosiguió la Liebre de Marzo.
- Lo hago –replicó el Sombrerero apresuradamente-; al menos… al menos pienso lo que digo… que es lo mismo.
- ¡Ni mucho menos! –dijo el Lirón-, que pareció hablar en sueños.
- ¡Es como si dijeses que “respiro cuando duermo” es lo mismo que “duermo cuando respiro”!
- ¡Es como si dijeses –añadió la Liebre de Marzo-, que “me gusta lo que tengo” es lo mismo que “tengo lo que me gusta”!
Aquí cesó la conversación y el grupo se quedó en silencio durante unos minutos.
Luego Alicia le preguntó al Sombrerero: -¿Quiénes son los que crees que pueden mostrarnos el mapa?


- Dos entrañables amigos que tienen mucha Matemática e Imaginación –contestó el Sombrerero.
- ¿Y cómo se llaman? –preguntó la Liebre de Marzo.
- Edward lo llama a James, Newman, y James lo llama a Edward, Kasner –respondió el Sombrerero.
- ¿Edward y James? –repreguntó la Liebre.
- Sí, sí… Kasner y Newman –ratificó el Sombrerero. Y agregó –Y allí está bajo el frondoso árbol charlando con el Gato de Cheshire.
El grupo fue en busca de los dos amigos y ambos, gentilmente, les enseñaron a construir el buscado mapa del Jardín de los Infinitos.
- Así es la historia –dijo Kasner. Se comienza con un triángulo equilátero de lado igual a la unidad. Este triángulo es la curva C1.




- Divídase ahora cada uno de sus lados en tres partes iguales –dijo Newman- y en cada tercio medio constrúyase un triángulo equilátero dirigido hacia fuera. Bórrense las partes comunes a los triángulos nuevos y viejos. Esta simple curva poligonal, se llama C2.



Así hemos logrado la segunda etapa de la construcción del borde o frontera del mapa del Jardín de los Infinitos.
-Le toca el turno al tercer paso –dijo Kasner. Dividimos en tres partes iguales cada lado de C2 y nuevamente, en cada tercio medio, construimos un triángulo equilátero dirigido hacia fuera. Borrando la parte de las curvas comunes a las figuras nuevas y viejas, logramos completar el tercer paso. Esta curva simple se llama C3.



-¡Esto se pone lindo! –exclamó el Sombrerero.
- ¿Se animan a continuar solos? –preguntó Newman.
- ¿Hasta cuando? –dijo la Liebre de Marzo.
-Tanto como deseen –respondió Kasner.
Alicia sintió que su pensamiento transitaba por un laberinto matemático. En profundo silencio vio aparecer ante sus ojos, -como resultados de un procedimiento análogo iterado, las curvas C4, C5 y C6.




-¡Sí, sí!... ¡Está apareciendo la forma! –exclamó Alicia comenzando a salir de su asombro.
-¡Parece un copo de nieve! –dijo el Sombrerero.
-¿Y ya está terminado el mapa? –preguntó la Liebre de Marzo.
-Si así lo deseas,… sí –contestó Newman-; pero si no lo deseas,… no.
-Es buena respuesta –murmuró el Gato de Cheshire mirando desde la rama del árbol en la que estaba sentado.
-En realidad… -pensó en voz alta Kasner-, el mapa del Jardín de los Infinitos, estará completo si repetimos el mismo procedimiento hasta ahora utilizado, indefinidamente y obtenemos así la curva límite.
-¿Indefinidamente? –preguntó desconsolado el Lirón-. ¡Eso es mucho!
-Cada nueva etapa nos acercará más a la curva límite –continuó diciendo Kasner- y la curva límite de esta sucesión de curvas (C1, C2, C3,…) es algo verdaderamente notable.
-¿Por qué dice Ud. “notable”? –inquirió Alicia.
-Mi querida Alicia –contestó Newman-; sencillamente notable porque: ¡su longitud es infinita, pero la superficie que limita es finita!
El silencio de Alicia se escuchaba por todo el jardín y podía leerse el asombro en los rostros de sus compañeros de búsqueda.
-De acuerdo –se escuchó decir al Gato de Cheshire.
-¡Es increíble! –fue el decir del Sombrerero-. Estamos ante un hecho sorprendente: una curva de longitud infinita que puede dibujarse en una pequeña hoja de papel.
-Sin embargo… -completó la Liebre de Marzo- ¿dice Ud. que su perímetro es infinito?
-Así es –afirmó Newman-. En cada etapa de la construcción el perímetro aumenta. Veámoslo. Comenzamos suponiendo que cada lado del triángulo equilátero tiene una unidad de longitud. Entonces, el perímetro de C1 es 3 unidades. Luego, para construir C2 añadimos 6 segmentos, siendo cada uno de ellos de longitud 1/3, y restamos al borrarlas 3 líneas, siendo cada una de ellas de longitud 1/3. Es decir, que en definitiva añadimos una unidad de longitud al perímetro anterior. Por tanto, la longitud de la curva c2 es 3+1. ¿Vamos bien? –preguntó Newman.
-De acuerdo –afirmó el Gato de Cheshire.
-Bien, entonces continuamos –dijo Newman-. Para construir C3 añadimos 24 segmentos, siendo cada uno de ellos de longitud 1/9, y restamos al borrarlas 12 líneas, siendo cada una de ellas también de longitud 1/9. En definitiva el perímetro de la curva C3 será igual a la suma de 3 + 1 +(4/3).
Por el mismo procedimiento, y cambiando lo que hay que cambiar, se obtiene la longitud de C4, que es igual a la suma de 3 + 1 + (4/3) + (4/3)2 + (4/3)3 + (4/3)4 +…
Los términos de esta serie aumentan en magnitud y la suma se puede hacer “tan grande como se quiera” sin más que tomar un número “suficientemente grande” de términos. Por consiguiente, la longitud de la curva límite es infinita.
¡Una curva de longitud infinita que encierra una superficie finita!...
¡Esta es una idea muy grande! –exclamó Alicia.
¡Es una ideota! –proclamó el Sombrerero.
¡Es una re-idea! –gritó la Liebre de Marzo.
¡Es un sueño! –postuló el Lirón.
- De acuerdo –dijo el Gato; y esta vez se desvaneció muy despacio, empezando por el extremo de la cola y terminando por la sonrisa, que permaneció un rato después de que el resto hubiese desaparecido.
-¡Bueno! He visto muchas veces a un Gato sin sonrisa –pensó Alicia- pero ¡una sonrisa sin Gato! ¡Es otra cosa rara que me ha ocurrido en mi vida!
Bebiendo su té, en un extremo de la larga mesa, el bueno del maestro Bertrand Russell murmuró en voz baja para ser bien escuchado por todos: “abstracciones que pertenecen a otro reino, alejado de las pasiones humanas, alejadas incluso de la despreciable realidad de la Naturaleza… Un cosmos, donde el pensamiento puro puede habitar como en su hogar natural, y donde uno de nuestros más nobles impulsos puede, al menos, escapar del exilio monótono del mundo real.”
Alicia lo besó en la mejilla y partió con la idea que, finalmente, era el buscado mapa del Jardín de los Infinitos.
El Sombrerero recitaba en el Jardín los versitos apócrifos del Benoît Mandelbrot:
Por reglas de un arte
Muchos mapas hay
De borde infinito
¡Por fractalidad!
La tarde del tiempo caía lentamente sobre el Jardín de los Infinitos.


Bibliografía
Borges, Jorge Luis, El libro de arena, Buenos Aries, EMECÉ, 1975.
Lewis Carroll Alicia en el País de las Maravillas, en Alicia anotada, edición de Martín Gadner, Madrid, 1984.
Kasner, E. y Newman, J., Matemáticas e imaginación, Buenos Aires, Hachette, 1951.


Publicado en La matemagia del Laberinto (hacia la integración del saber), Serie Eureka de Magisterio del Río de La Plata, 1997

martes, 13 de mayo de 2008

Los sentimientos a través de la poesía

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A pesar de que los más pequeños no sepan leer, sí saben apreciar la poesía: quizás no capten el sentido gramatical, pero sí el sentido profundo de las imágenes, para ellos, las palabras son portadoras de imágenes.
Marisa Bosio, la profesora de una de las salas de 5 años de Eureka, lo expresa así: "Los poemas son palabras en juego, en un continuo fluir sonoro de encuentros y desencuentros rítmicos, asonantes y consonantes, que despiertan en la afectividad el gusto por la belleza del lenguaje. Palabras con forma poética, transmisoras de imágenes, sentimientos y sonidos, que generan por sí mismo el placer por escuchar y decir.
La poesía es sonido y ritmo para los sentidos, magia para la imaginación, alas para la emotividad. Niños y poemas comparten la capacidad de asombro, el humor del absurdo, el lenguaje fantástico y el placer del juego."
Jugando con la poesía, el niño juega con las palabras, se familiariza con ellas, comprende que son vehículos de comunicación, que con ellas pueden expresar ideas y sentimientos. Y que las palabras no son sólo suyas, pues los demás también las usan, las palabras se comparten.
Los chicos necesitan de la poesía, en particular, y de la literatura, en general, porque necesitan de la fantasía, pero también de las palabras.
En esta ocasión, en la que, además, Marisa estaba trabajando los sentimientos y su expresión con los chicos, los objetivos concretos de esta actividad eran:
"- Jugar con palabras para que el niño encuentre que ellas son el instrumento básico para comunicarse, para expresar ideas o sentimiento y aceptar las de otros.
- Vivenciar la lengua como un sistema en constante cambio buscando contrastes, oposiciones, semejanzas.
- Comparar e interpretar las diferentes poesías buscando entre ellas los diferentes sentimientos expresados en las mismas"
Y para que los pequeños jueguen y disfruten y, por supuesto, piensen y conozcan, un hermoso poema de Edith Mabel Russo (pulsen en el enlace para leerlo).
Hemos aprovechado este hermoso poema para recordar a los grandes y para mostrar a los pequeños una de las formas más tradicionales de hacer un barquito de papel. Es una excelente actividad para trabajar en casa, una maravillosa excusa para mostrarle a los más pequeños qué poco se necesita para pasar un buen rato y, sin que ellos se den cuenta, fomentar la actividad psicomotriz y la imaginación, porque quién sabe si nuestro barco no puede ser un barco pirata en busca de un gran tesoro o un barco explorador en busca de huellas prehistóricas...


Este barco lo plegué
con fino papel de seda,
andará por el arroyo
del cordón de mi vereda.
Lleva en su carga un poema,
un caramelo, una flor,
los dejará silencioso
en la casa de mi amor.
Cuando ella lo descubra
lo secará con un beso,
con un "te quiero" bordado
lo mandará de regreso.
Yo lo veré aparecer
mis manos serán el puerto,
los sueños haciendo ronda
y mi corazón abierto.
Si lo ves, no lo detengas,
un barquito enamorado,
tiene permiso especial
para andar por cualquier lado.

jueves, 8 de mayo de 2008

Tarea escolar

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"El proceso formativo debería comenzar por instrumentar al alumno en el arte de un pensamiento claro. Pensar bien lleva a ahondar en la realidad, lo cual es indispensable para llegar a comprender el mundo formando una cosmovisión. El aprendizaje matemático, sin duda una valiosa herramienta para educar el pensamiento, es instrumento privilegiado para penetrar en los secretos de lo real (...)"

"Las palabras numéricas son algunas de las muchas cosas que el niño pequeño utiliza por imitación de los adultos entre los que vive. "Cuenta" y "suma" mucho antes de comprender las abstracciones con las que está tratando. Traduce signos o cuenta de manera automática pero no existe comprensión inteligente. La adquisición de mecanismos no predispone en absoluto a la comprensión del cálculo. Es a la inversa: la cultura en la disciplina favorece en cambio el aprendizaje de técnicas cuya necesidad ha hecho sentir. En este terreno, como en muchos otros sin duda, no se asciende desde los mecanismos hacia la cultura; se desciende desde la cultura hacia los mecanismos.
Por eso afirmamos que lo que cuenta es hacerse preguntas"

"Sin un compromiso personal, sin posibilidad de elegir libre y responsablemente, sin el fuego de la motivación interior, el acto educativo no encuentra lugar. Se tratará entonces de cubrir las apariencias, haciendo lo posible para "cumplir", sin preguntar los porqués, repitiendo de memoria fórmulas ciegas que ayuden a superar la situación de la manera menos dolorosa. ¿No es ésta una de las formas de la hipocresía?
Solo quienes pueden actuar según su libre arbitrio, conocedores de las normas que deben respetar y haciéndose cargo de sus propias acciones, podrán vivir el proceso educativo en profundidad.
La formación de toda persona debería tener como un objetivo importante enseñarle a adaptarse justamente a la realidad, a ser justo en la plenitud de lo que ese término significa. Quien sabe descubrir el sentido liberador que conlleva la obediencia a las leyes, cuando éstas son fecundas y valiosos para la vida en comunidad, está preparado para superar la falsa contradicción que con frecuencia se requiere establecer entre libertad y norma"

Estas tres citas (y el poema de Prévert) están extraídas del libro de Alfredo Palacios y Laura de Ondarçuhu "Contar bien es lo que cuenta que contar cualquiera cuenta" (ed. Lumen, Buenos Aires, 2001).


Tarea escolar de Jacques Prévert

Dos y dos son cuatro
Cuatro y cuatro ocho
Ocho y ocho dieciséis…
¡Repitan! Dice el maestro
Dos y dos son cuatro
Cuatro y cuatro ocho
Ocho y ocho dieciséis.
Pero el pájaro lira
Pasa por el cielo
El niño lo ve
El niño lo oye
El niño lo llama:
¡Sálvame
Juega conmigo
Pajarito!
Entonces el pájaro desciende
Y juega con el niño.
Dos y dos son cuatro…
¡Repitan! Dice el maestro
Y el niño juega
El pájaro juega con él…
Cuatro y cuatro ocho
Ocho y ocho dieciséis
Y dieciséis y dieciséis, ¿cuánto es?
Dieciséis y dieciséis son nada
Y mucho menos
De ninguna manera
Treinta y dos
Y sigue la ronda.
El niño ha escondido al pájaro
En su pupitre
Y todos los niños
escuchan su canto
y todos los niños
escuchan su música
y ocho y ocho desfilan a su vez
y cuatro y cuatro y dos y dos
desfilan a su vez
y uno y uno desfilan también.
Y el pájaro lira juega
Y el niño canta
Y el profesor grita:
¡Cuándo terminarán de hacer payasadas!
Pero los demás niños
Escuchan la música
Y las paredes de la clase
Se desploman tranquilamente.
Y los vidrios vuelven a ser arena
La tinta vuelve a ser agua
Los pupitres vuelven a ser árboles
La tiza vuelve a ser acantilado
Y el portaplumas vuelve a ser pájaro.

jueves, 1 de mayo de 2008

Travesuras del Hada Eureka

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Este año, como ya habíamos hecho el año pasado, hemos celebrado en Eureka el 23 de abril, Día del Idioma o del Libro, porque lo uno y lo otro se celebra en esta fecha (en Argentina, no coinciden ambas fechas, celebraremos el día del libro más adelante), día que se conmemora la muerte de Don Miguel de Cervantes Saavedra y la del Inca Garcilaso de la Vega y, para redondear la fecha, la del escritor inglés Shakespeare. Aunque en realidad, la muerte de Shakespeare y la de los españoles son el 23 de abril de 1616 pero de distintos calendarios (es una historia muy larga de contar, pero España tenía un calendario diferente a Inglaterra en esta época).
Sea como sea, la casualidad o los calendarios o las musas quisieron que estos tres escritores coincidieran en las puertas del Helicón, que es el bosque sagrado, habitado por las musas de la mitología griega, donde deberían ir los escritores que ya no están en persona entre nosotros. Y digo en persona, porque lo están en obras, que, al fin y al cabo, y tratándose de literatura, es bastante importante.
Quiero contarles algunas cosas del Ingenioso caballero don Quijote de la Mancha, obra de don Miguel de Cervantes, y la he elegido a ella, porque se ha convertido no sólo en la principal obra de la literatura española, sino en la obra fundamental de la literatura universal, ha sido traducida a casi todos los idiomas hablados en el mundo, y son muchos los idiomas...

El comienzo de la novela, aquella frase que dice algo así como "En un lugar de la Mancha de cuyo nombre no quiero acordarme..." ha sido repetida, copiada, escrita, imitada miles de millones de veces (y no exagero nada): es una de las frases más famosos de la literatura mundial.
Cervantes con su novela quería parodiar un género literario que por aquellos días estaba muy de moda, era la novela de caballería. Todo el mundo leía novelas de caballería, en las que el caballero, joven, valiente y hermoso, realizaba grandes hazañas, defendiendo a pobres mujeres desamparadas, hombres injustamente tratados y otros tristes personajes, estaba enamorado de la joven más inocente, hermosa e inteligente de todo el reino y sus enemigos eran temibles magos, hechiceros que querían hacerlo fracasar, gigantes temibles.
El caballero don Quijote, el de la Triste Figura, cree ver lo que en realidad es pura imaginación, o quizás, es que ve más que los demás y no es él que se equivoca, quizás, son gigantes y no molinos, son ejércitos y no rebaños de corderos, son damas y no prostitutas...
Y para que se note más lo que don Quijote representa, a su lado viaja el terrenal y realista Sancho Panza, para quien el pan es pan y el chorizo, chorizo. Aunque viven tantas cosas juntos, que, al final, tanto monta, monta tanto, y llegan a mezclarse y Quijote Panza cabalga junto a don Sancho de la Mancha.
Los libros son así de maravillosos, en cada uno de ellos hay escondidas miles de aventuras, sólo es necesario abrirlos para que salgan, para hacerlas vivir, porque, aunque las aventuras, los personajes estén ahí, necesitan de alguien que los lea para que puedan tener vida.